Liga Zadaniowa UMK w Toruniu 2001/2002

LIGA ZADANIOWA UMK W TORUNIU 2001/2002
ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO ETAPU I
DLA KLAS II GIMNAZJUM

Zadanie 8

Czy istnieje wypukły wielokąt, który ma 2001 przekątnych???

Rozwiązanie

Wielokąt o n bokach ma n(n-3)/2 przekątnych
bo w takim wielokącie jest n wierchołków i z każdego wierzchołka można narysować n-3 przekątne ale w ten sposób każdą przekątną narysujemy dwa razy. Na przykład na tym rysunku przekątną BE narysujemy raz z wierzchołka B i raz z wierzchołka E.
Trzeba sprawdzić czy można tak dobrać liczbę naturalną n aby

(n-3)n / 2 = 2001

Obie strony mnożę przez 2:

(n-3)n=4002

Szacując ilość przekątnych

dla n=64 dostałam (n-3)n=61×64=3904 (za mało)
dla n=65 dostałam (n-3)n=62×65=4030 (za dużo)
A to znaczy, że n=64 jest za małe a n=65 jest za duże. Ponieważ nie ma żadnej pośredniej liczby naturalnej między 64 a 65 więc nie ma co dalej szukać. Odpowiedź
Nie ma takiego wielokąta wypukłego, który ma 2001 przekątnych.
Asia Klimek